GEOMETRIA


I CONCETTI PRIMITIVI E GLI ASSIOMI

La branca della matematica che studia le figure geometriche si chiama geometria.

Useremo il metodo deduttivo, che segue la seguente struttura:

  • Si assumono dei concetti primitivi (punto, retta e piano)
  • Si assumono alcune affermazioni come vere, dette assiomi o postulati
  • Si definisce ogni nuovo oggetto mediante definizioni basate sui concetti primitivi o altre definizioni già fatte
  • Mediante ragionamenti, detti dimostrazioni, si deducono nuove proposizioni, dette teoremi

    • Gli assiomi stabiliscono delle relazioni fra i punti, le rette e il piano.
    Ogni piano è un insieme di punti. Ogni retta è un sottoinsieme del piano.
    ASSIOMI D'APPARTENENZA DELLA RETTA:

    1. Ogni retta ha almeno 2 punti distinti (tre punti sulla stessa retta si dicono allineati)
    2. per due punti passa una sola retta (Conseguenza: due rette distinte hanno al massimo 1 punto in comune)
    3. Data una retta esiste un punto esterno ad essa
    Quando fissiamo un verso su una retta, questa si dice orientata. Ne derivano gli
    ASSIOMI D'ORDINE DELLA RETTA:
    1. Dati 2 punti su una retta, esiste sempre un punto compreso tra loro (conseguenza: tra due punti ci sono infiniti punti)
    2. Dato un punto esiste sempre un punto che lo precede e uno che lo segue (Conseguenza: le rette si estendono all'infinito)
    Teorema: per un punto del piano passano infinite rette. Il punto si chiama centro e l'insieme di tutte le rette è definito fascio proprio di rette.

    LE POLIGONALI

    Una figura geometrica è un sottoinsieme del piano che indichiamo con una lettera maiuscola.
    Un punto (chiamato origine) divide una retta in due parti: ogni parte, con l'origine, premde il nome di semiretta. I punti della semiretta che non sono l'origine si chiamano punti interni.
    Le due semirette si dicono opposte e la retta da cui derivano si chiama retta d'appoggio.
    Le semirette si indicano con una lettera minuscola, oppure con le lettere maiuscole di due punti, di cui il primo è l'origine, e l'altro è un punto interno.


    SEGMENTI

    Dati 2 punti su una retta, il segmento è l'unione di questi 2 punti (estremi) e di tutti i punti compresi (punti interni).
    Le semirette che non contengono il segmento e gli estremi si chiamano prolungamenti.
    Se gli estremi coincidono si parla di segmento nullo.
    Due segmenti che hanno un solo estremo in comune si dicono consegutivi; Se sono anche sulla stessa retta si dicono adiacenti.

    SEMIPIANI E ANGOLI

    Una figura si dice convessa se, presi 2 punti di essa, il segmento che li congiunge è tutto compreso nella figura. ( rette, semirette, segmenti e, per convenzione, anche il punto sono convessi).
    Altrimenti si definisce concava.

    Una retta divide il piano in 2 parti. L'insieme dei punti di ogni parte del piano (detti punti interni) e dei punti della retta (detta origine o frontiera ) formano un semipiano.
    I due semipiani ottenuti si dicono opposti.

    Date 2 semirette con stessa origine, chiamiamo angolo l' insieme dei punti delle semirette e di una delle due parti in cui il piano è diviso.
    Chiameremo l'origine vertice e le semirette lati.
    l'angolo più stretto lo chiameremo convesso, mentre l'altro, più largo è detto concavo.
    Angoli particolari sono l'angolo piatto, giro e nullo.
    Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune.
    Due angoli consecutivi sono adiacenti se i lati non in comune sono l'uno il prolungamento dell'altro.
    Due angoli convessi, con i lati dell'uno che sono i prolungamenti dell'altro, si dicono opposti al vertice.

    I POLIGONI

    Una poligonale chiusa non intrecciata divide il piano in due parti. Una che contiene rette e l'altra, limitata, che contiene solo segmenti.
    I punti della regione limitata si dicono interni e la loro unione con i punti della poligonale è il poligono.
    La poligonale è anche detta contorno o frontiera del poligono.
    Per i poligoni usiamo gli stessi nomi delle poligonali ( vertici, lati, poligoni convessi e concavi) .
    Definizioni importanti sono:

  • La diagonale, che congiunge 2 vertici non consecutivi
  • La corda, che congiunge 2 punti di 2 lati.
  • L'angolo interno individuato dal vertice e 2 lati consecutivi
  • L'angolo esterno ovvero ogni angolo adiacente all' angolo interno

    • CONGRUENZA E MISURA

    LA CONGRUENZA

    Due poligoni A e B si dicono congruenti, e scriveremo A ≅ B . quando sono sovrapponibili con movimenti rigidi ( traslazione, rotazione e riflessione)



    ASSIOMI DI CONGRUENZA

    Il primo assioma di conguenza afferma le seguenti proprietà:
  • riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa
  • simmetrica se A ≅ B segue che B ≅ A
  • transitiva se A ≅ B e B ≅ C segue che A ≅ C
    • Un altro assioma afferma che tutti i punti, le rette, le semirette, i piani e i semipiani sono congruenti tra loro.
    Poichè un semipiano può essere visto come un angolo piatto, tutti gli angoli piatti sono congruenti.
    L'assioma del trasporto del segmento afferma che, dati un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste un unico punto P tale che: AB≅OP
    L'assioma del trasporto dell'angolo afferma che, dati un angolo aOb e una semiretta di origine O', esiste un unica semniretta b' tale che: aOb≅a'O'b'
    Da questi assiomi segue la definizione di poligono regolare, che è un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti.

    CONFRONTO E OPERAZIONI DI SEGMENTI

    Tramite l' assioma del trasporto possiamo confrontare i segmenti, tramite opportuni segmenti congruenti, e vedere chi è maggiore.
    Analogamente, introduciamo i concetti di somma, sottrazione, multiplo e sottomultiplo di segmenti.
    Dividendo un segmento per un numero naturale, otteniamo segmenti congruenti.
    un caso particolare si ha quando si divide il segmento per 2: l'estremo in comune si chiama punto medio e gli altri estremi sono simmetrici ripetto ad esso.

    CONFRONTO E OPERAZIONI TRA ANGOLI

    Tramite l' assioma del trasporto possiamo confrontare gli angoli, tramite opportuni angoli congruenti, e vedere chi è maggiore.
    Analogamente, introduciamo i concetti di somma, sottrazione, multiplo e sottomultiplo di angoli.
    Dividendo un angolo per un numero naturale, otteniamo angoli congruenti.
    un caso particolare si ha quando si divide per 2: la semiretta in comune si chiama bisettrice.
    La bisettrice che divide un angolo piatto crea due angoli retti.
    Ulteriori definizioni riguardano la somma di due angoli:
  • se è pari ad un angolo retto si dice che gli angoli sono complementari
  • se è pari ad un angolo piatto si dice che gli angoli sono supplementari
  • se è pari ad un angolo giro si dice che gli angoli sono esplementari

    • ALCUNI TEOREMI SUGLI ANGOLI

  • Due angoli complementari di angoli congruenti sono tra loro congruenti.
  • Due angoli supplementari di angoli congruenti sono tra loro congruenti.
  • Due angoli opposti al vertice sono tra loro congruenti.
  • Gli angoli esterni di un angolo interno di un poligono sono congruenti.

    • LA MISURA DEI SEGMENTI

    La misura di un segmento è stabilire quante volte un altro segmento, chiamato unità di misura, entra in esso.
    Il rapporto può essere espresso da una frazione, e allora parliamo di grandezze commensurabili , altrimenti, si dice che il segmento e l'unità di misura sono incommensurabili e la misura è espressa da un numero irrazionale.


    OPERAZIONI TRA SEGMENTI CON LE MISURE

    Possiamo confrontare e fare operazioni tra segmenti utilizzando le misure, infatti valgono le seguenti proprietà:
  • due segmenti sono congruenti se e solo se hanno la stessa misura
  • Un segmento è maggiore (minore) di un altro se e solo se lo è la sua misura
  • La misura della somma di segmenti è pari alla somma delle misure degli stessi segmenti
    • La misura di un segmento si chiama distanza o lunghezza, mentre la misura della somma di tutti i lati di un poligono si chiama perrimetro (2p).
    Vale l'assioma di continuità che aafferma che datu una unità di misura e un numero reale positivo k, esiste sempre un segmento pari a k volte l'unità di misura. Questo assioma garantisce che la retta sia continua.

    LA MISURA DEGLI ANGOLI

    Un angolo può sempre essere visto come un multiplo (di un numero reale positivo) di un altro angolo, che stabiliamo come unità di misura. Valgono le seguenti proprietà:
  • due angoli sono congruenti se e solo se hanno la stessa misura
  • Un angolo è maggiore (minore) di un altro se e solo se lo è la sua misura
  • La misura della somma di due angoli è pari alla somma delle misure degli stessi angoli

    • Come unità di misura possiamo usare il grado, divisibile in 60' primi, a loro volta divisibili in 60" secondi. Un angolo giro vale 360°, un angolo piatto vale 180°, un angolo retto vale 90°.


    LA CONGRUENZA NEI TRIANGOLI