CINEMATICA

SISTEMA DI RIFERIMENTO E SPOSTAMENTO


Per studiare uno spostamento dobbiamo stabilire un sistema di riferimento e assimiliamo l'oggetto in moto come un punto (punto materiale).
Nello studio del cammino possiamo interessarci alla distanza percorsa complessivamente (come nel contapassi o in un contachilometri), oppure allo spostamento, cioè il vettore che unisce la posizione iniziale alla posizione finale.
Lo spostamento è dunque una grandezza vettoriale che si misura in metri.
Un cammino (traiettoria) si può vedere come composto di più vettori, uno di seguito all'altro.
Il cammino totale è il vettore che unisce il punto di partenza con il punto di arrivo.
Nello studio del moto noi siamo interessati particolarmente alla legge oraria del moto, cioè le posizioni assunte dal punto materiale nel tempo.

ESERCIZI

ESERCIZIO

Lungo la strada dritta in figura, dal negozio A ci spostiamo al caffè B e quindi andiamo al congresso in C.
Quale distanza abbiamo percorso?
Qual è lo spostamento percorso?





MOTO RETTILINEO

LO SPOSTAMENTO LUNGO UNA RETTA


Come sistema di riferimento prendiamo un asse orientato che ha la stessa direzione dello spostamento.
Stabiliamo quindi una origine e un verso: la retta orientata diventa l'asse x.
La posizione di un oggetto sarà dunque l'ascissa x.
Lo spostamento s sarà la differenza tra la posizione finale (xf oppure semplicemente x) e la posizione iniziale (xi oppure x0):

s = xf - xi

LA VELOCITÀ


LA VELOCITÀ LUNGO UNA RETTA


Per vedere quale corpo si muove più rapidamente vediamo il cammino percorso nell'unità di tempo.
La formula è:

     v = Δ x / Δ t     cioè     v = (xf - xi) / (tf - ti)    (Δ infatti è, per definizione, il valore finale - il valore iniziale)

Se il Δ t è molto piccolo si parla di velocità istantanea, altrimenti di velocità media.

L'unità di misura è m / s.   Per convertire il valore in km / h, bisogna moltiplicare per 3,6


IL DIAGRAMMA DI MOTO SPAZIO-TEMPO


Il diagramma di moto è un grafico che in ascissa ha il tempo e in ordinata lo spostamento lungo un percorso rettilineo.
In ogni pundo di questo grafico il coefficiente angolare della retta tangente rappresenta la velocità istantanea.
La pendenza della retta che unisce due punti del grafico è invece la velocità media impiegata per spostarsi tra quei due punti.

ESERCIZI

ESERCIZIO:

Una persona cammina percorrendo mediamente 1,5 m / s.
Quanta strada percorre in un minuto?   SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Un allenamento prevede una corsa a velocità costante di 2,5 m / s per 20 minuti.
Quanti chilometri si percorrono?   SVOLGIMENTO
ESERCIZIO:

In un viaggio un automobilista percorre mediamente 100 km / h.
Se il viaggio è di 250 km, per quanto tempo ha guidato?   SVOLGIMENTO
ESERCIZIO:

Le onde radio viaggiano alla velocità della luce, circa 3,0 · 105 km / s.
Quanto impiega un segnale radio, che parte dalla terra, ad arrivare sulla luna e tornare indietro?
La distanza terra luna è 384400 km   SVOLGIMENTO
ESERCIZIO

Un signore aspetta un treno camminando avanti e indietro tracciando il grafico spazio tempo mostrato in figura.
Indica, anche quantitativamente:

  • in quali tratti si allontana dal punto di partenza
  • in quale tratto ha la velocità media maggiore
  • In quale tratto è fermo
  • la velocità media nei primi 5 s
  • la velocità media dal secondo 1 al secondo 6

L'ACCELERAZIONE


L'accelerazione esprime la rapidità con cui varia la velocità nel tempo.
La formula è  a = Δ v / Δ t.   e l'unità di misura è   m / s2.
Per misurare l'accelerazione possiamo usare un filo con un peso o un accelerometro, ad esempio a molla.

L'ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ


Un corpo in caduta libera (cioè senza considerare l'attrito dell'aria) ha una accelerazione costante, detta accelerazione di gravità.
Sulla superficie terrestre è circa  g = 9,81   m / s 2
Si osservi come tale valore corrisponde alla pendenza di un grafico tempo-velocità.

DIAGRAMMA DI MOTO VELOCITÀ-TEMPO


E' un grafico, riferito a un percorso rettilineo,che ha in ascissa il tempo e in ordinata la velocità.
In ogni pundo di questo grafico il coefficiente angolare della retta tangente rappresenta l'accelerazione istantanea.
La pendenza della retta che unisce due punti del grafico è invece l'accelerazione media, impiegata per spostarsi tra quei due punti.

ESERCIZI

ESERCIZIO:

Un aereoplano al decollo ha una accelerzione di 8,1 m/s2.
Quanti secondi impiega per raggiungere una velocità di 83 m/s ?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Un camaleonte lancia la sua lingua contro una mosca con una accelerazione di 32 m / s2.
Se il tempo impiegato è di 0,11 s, che velocità massima finale raggiunge la lingua?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Un aereo decolla in 25,0 secondi con una velocità di 300 km / h.
Qual è l'accelerazione media del velivolo?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Un'automobile passa da 10 km/h a 100 km/h in 6 secondi.
Qual è l'accelerazione media dell'automobile?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Un'automobile passa da 120 km/h a 10 km/h in 4 secondi.
Qual è l'accelerazione media dell'automobile?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Un'automobile raggiunge i 100 km/h in 3,4 secondi.
Qual è l'accelerazione media dell'automobile m/s2 e in in km/h al secondo?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Un treno viaggia lungo un percorso rettilineo a 1,5 m/s quando accelera di 1 m/s2 per 2 secondi.
Poi accelera di 2 m/s2 per 1 secondo, quindi rimane a velocità costante per altri 2 secondi.
Infine fa una frenata di - 3 m/s2 per 1 secondo.
Qual è la velocità finale del treno?
Qual è l'accelerazione media del treno?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Una bicicletta ha una velocità iniziale di 12 m/s, decelera con una accelerazione media di -1,67 m / s2 fino alla velocità di 6,6 m / s.
Quanti secondi impiega per fermarsi?         SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Il moto di una persona in bicicletta è rappresentato dal diagramma velocità-tempo riportato in figura.
Si determinino le accelerazioni dei vari tratti e l'accelerazione media complessiva.





       

MOTI NEL PIANO

COORDINATE BIDIMENSIONALI E VETTORE POSIZIONE


La posizione di un oggetto è individuata, sul piano cartesiano, dalle sue coordinate x e y.
Poichè i vettori non sono allineati, dobbiamo riferirci a grandezze vettoriali; introduciamo dunque il vettore posizione, che è il vettore    r    che va dall'origine (0;0) e termina nella posizione dell'oggetto, individuata dal punto (x;y)
Il modulo del vettore è    r = (x2 + y2)0,5

Quando un oggetto si sposta da un punto (x1 ; y1), rappresentato dal vettore   r 1   ad un punto (x2 ; y2) rappresentato dal vettore   r 2   si ha un vettore spostamento pari a:

   Δ r = r 2 - r 1     [ m ]

Osservando che le coordinate dei vettori componenti ( xi ; yi) sono anche le componenti dei vettori lungo gli assi, abbiamo:
      Δ x = x2 - x1
      Δ y = y2 - y1

VELOCITÀ IN MOTI NON RETTILINEI


In alcuni casi i moti non rettilieni possono essere studiati come moti rettilinei, quando siamo interessati solo al percorso.
In queste particolari situazioni le traiettorie curve possono essere divise in parti rettilinee, e il tragitto lo studiamo come se fosse rettilineo.
Negli altri casi il moto si studia con le regole delle grandezze vettoriali:

    v m = Δ r / Δ t     [ m / s ]

Si osservi che il vettore velocità ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore spostamento, perchè   1/Δt   è un numero positivo.
Per   Δt → 0    il vettore velocità è tangente alla traiettoria.

L'ACCELERAZIONE COME GRANDEZZA VETTORIALE


In una traiettoria curvilinea varia anche la direzione della velocità, pertanto l'accelerazione non è più allineata allo spostamento ( e alla velocità).
In questo caso l'accelerazione è diretta verso il centro della curva e si chiama accelerazione centripeta.
La sua formula è:

    a m = Δ v / Δ t     [ m / s2 ]



MOTI PARTICOLARI


Il moto è completamente definito quando, di ogni punto della traiettoria, si conoscono: Vediamo come si calcolano questi valori per tre moti particolari:

IL MOTO RETTILINEO UNIFORME


Il moto rettilineo uniforme è caratterizzato dalle seguenti formule:

ESERCIZI

ESERCIZIO:

La legge oraria di una persona che sta correndo è x = 6,4 m + (5,8 m/s) · t
  1. dove si trova la persona dopo 2,0 secondi?
  2. Quando raggiunge la distanza x = 25 m?
  SVOLGIMENTO
ESERCIZIO:

Osserva il diagramma spazio-tempo dei due corpi in figura e ricava algebricamente:
  1. le posizioni iniziali dei due corpi
  2. La velocità dei due corpi
  3. Le equazioni del moto dei due corpi
  4. Il momento di incontro e la corrispondente ascissa

ESERCIZIO:

Due giocatori di calcio stanno correndo l'uno verso l'altro lungo una traiettoria rettilinea.
Le loro leggi di moto sono: Disegna il diagramma di moto, trova le coordinate del punto di incontro e indica chi è più veloce.   SVOLGIMENTO

ESERCIZIO:

Lucio esce di casa e prende la bicicletta per raggiungere Laura, uscita 8,0 minuti prima.
Laura si muove su una strada dritta a 2,2 m/s.
Che velocità deve averre Lucio per raggiungere Laura in 13 minuti?
  SVOLGIMENTO


IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO


Il moto rettilineo uniformemente accelerato è caratterizzato dalle seguenti formule:

ESERCIZI

ESERCIZIO

Un nuotatore si tuffa da un trampolino e impiega 1,4 s per toccare l'acqua.
Da che altezza si è lanciato?
A che velocità, in km /h, tocca l'acqua?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un vaso cade da un secondo piano, a 7 m di altezza.
Quanto tempo impiega per toccare il suolo?
A che velocità, in km /h, sbatte sul terreno?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un treno parte da fermo, su una rotaia dritta, con una accelerazione di 1,6 m/s2.
Quanti metri percorre in 15 s?        SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un aereo in partenza da fermo, ha una accelerazione di 11 m/s2.
Che velocità raggiunge e quanta strada percorre in 7 s?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un auto si muove a 30 m/s (108 km/h) quando inizia un sorpasso.
con una accelerazione di 2 m/s2.
Quanta strada percorre in 5 s?       ;SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un auto si muove a 24 m/s (86 km/h) quando un gatto nero le attraversa la strada.
L'autista frena bruscamente con una decelrazione media di - 6 m/s2.
Quanta strada percorre prima di fermarsi?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Uno sciatore fermo al cancelletto, parte accelerando con un una accelerazione costante di 1,3 m/s2.
In quanto tempo raggiunge una velocità di 7,4 m/s ?
Quanto spazio ha percorso in questo tempo?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un'automobile ha una posizione iniziale di 7,3 m e una velocità iniziale di 4,5 m/s, quando fa una accelerazione costante di 1,2 m/s2.
Quale posizione raggiunge dopo un tempo di 3,2s ?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Quale accelerazione minima deve avere un aereo che, su una pista di 1850 m, decolla quando raggiunge una velocità di 70 m/s? Quanto tempo impiega per decollare?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un aereo atterra con una velocità di 84 m/s e si ferma in 1200 m.
Che decelerazione ha e quanto tempo impiega per fermarsi       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un'automobile ha una posizione iniziale di 4,8 m e una velocità iniziale di -6,5 m/s, quando fa una accelerazione costante di 1,4 m/s2.
Quale posizione raggiunge dopo un tempo di 1,5 s ?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Una noce di cocco cade dall'albero e tocca terra in 0,82 s.
Si calcoli l'altezza da cui è caduta e la velocità con cui urta il suolo.2.
Quale posizione raggiunge dopo un tempo di 1,5 s ?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Il vostro professore, in una partita di calcio, per colpire di testa fa un salto di 1,30 m .
Calcola la sua velocità iniziale?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Una mela cade da 5,2 m. Quanto tempo ci mette a raggiungere il suolo?
Che velocità ha al momento dell'impatto?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un vulcano lancia un lapillo verso l'alto con una velocità di 26 m/s.
Che velocità ha dopo 2 secondi e dopo 3 secondi?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Un'automobile ha una posizione iniziale di 4,8 m e una velocità iniziale di -6,5 m/s, quando fa una accelerazione costante di 1,4 m/s2.
Quale posizione raggiunge dopo un tempo di 1,5 s ?       SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Si dimostri che in una frenata che arresta un veicolo la velocità media è la metà della velocità iniziale.
Si calcoli poi il valore della velocità media sapendo che la velocità iniziale è di 12 m/s.       SVOLGIMENTO



IL MOTO CIRCOLARE

LA POSIZIONE ANGOLARE

Data una circonferenza con al centro un sistema di riferimento, la posizione angolare θ è l'angolo misurato rispetto all'asse x (positivo se antiorario).
Conviene misurare l'angolo in radianti ( 1 rad è l'angolo che copre un arco di lunghezza pari al raggio, e vale circa 57,3°).

SPOSTAMENTO E VELOCITÀ ANGOLARE

Lo spostamento angolare è la differenza tra la posizione angolare finale θf meno la posizione angolare iniziale θi:

   Δ θ = θf - θi      rad

Facendo il rapporto con il tempo trascorso Δ t, otteniamo la velocità angolare media:

   ω m = Δ θ / Δ t      rad/s

Se Δ t tende a zero si parla di velocità angolare istantanea.

VELOCITÀ TANGENZIALE

Con intervalli di tempo piccoli, il cammino sulla circonferenza si può approssimare all'arco percorso, che si ricava con l = r Δ θ
Dividendo per il tempo Δ t , otteniamo la velocità tangenziale:

v = r ω      ( con ω = Δ θ / Δ t )

IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME


La traiettoria lungo una circonferenza a velocità costante (in modulo!) introduce il concetto di periodo T, ovvero il tempo che impiega un punto per ritornare nella stessa posizione. ( T = 2 π / ω )
Ad esso si associa il suo inverso, ovvero la frequenza  f = 1 / T.
La frequenza indica quante volte si verifica l'evento in una unità di tempo, ovvero i cicli al secondo ( L'unità di misura è l'Hertz Hz = s -1).
In base a queste definizioni, le formule del moto circolare uniforme sono:

ESERCIZI

ESERCIZIO

Una ruota di raggio 20 cm, gira a 3000 giri / min.
Quanto vale la velocità periferica?
  SVOLGIMENTO

ESERCIZIO

Una giostra di raggio 5 m, ha un periodo di 6 s.
Quanto vale l'accelerazione centripeta che subisce una persona su un seggiolino?
  SVOLGIMENTO



SUNTO DI FORMULE SEMPLIFICATE


In alcuni casi (partenza dall'origine, velocità iniziale nulla) le formule del moto appena viste si semplificano:

IL MOTO DEI PROIETTILI


Il moto dei proiettili è composto di 2 moti: Le leggi del moto lungo gli assi sono:

IL MOTO OSCILLATORIO


Ogni moto che si ripete a intervalli di tempo uguali è detto moto periodico.
Se una particella si muove avanti e indietro su una stessa traiettoria il movimento è un moto oscillatorio o vibratorio.
Tale fenomeno lo troviamo in molti campi: onde radio, luce, campi elettrici e magnetici.
Un moto oscillatorio molto interessante è la proiezione, su una retta, di un punto che ruota di moto circolare uniforme, che prende il nome di moto armonico semplice.
Le equazioni (armoniche) lungo gli assi x e y di tale moto sono: