ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL TERZO SUPERIORE

video IN LAVORAZIONE con la spiegazione di qualche lezione e con alcuni esercizi

DIVISIONE TRA POLINOMI

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B ( ≠ 0 ) se esiste un polinomio Q (quoziente) che, moltiplicato B, da A: A : B = Q ⇔ Q · B = A
Osserva che il polinomio A deve avere grado ≥ B

Se un polinimio non è divisibile la divisione porta con il resto R (divisione euclidea )
A : B = Q + R

La procedura è simile alla divisione tra numeri:

si ordinano i polinomi in modo decrescente e completo
divido il termine di grado massimo di A con quello di B
moltiplico il monomio trovato per B e gli cambio segno
Sottraggo il risultato ad A
se il risultato ha grado maggiore o uguale a B ripeto i passaggi sopra
Altrimenti il risultato è il resto

La regola di Ruffini si applica quando B è un binomio di primo grado.
Si lavora solo con i coefficienti (vedi figura) :

si mettono i coefficienti di A in modo decrescente e completo
Metto a sinistra l'opposto del termine noto di B
abbasso il primo coeffociente di A e lo moltiplico per l'opposto del termine noto di B
sottraggo tale numero al secondo coefficiente di A e lo riporto sotto
ripeto la procedura fino alla fine
i coefficienti sono i coefficienti di Q tranne l'ultimo che è il resto

Il teorema del resto determina il resto senza fare la divisione, quando il divisore è nella forma (x-a).

Il valore del resto (che è un numero, perchè è un polinomio di grado zero) si ottiene sostituendo alla x il numero a.

Se il resto porta 0. Il polinomio è divisibile per (x-a).

ESERCIZI

Esercizi con divisione tra polinomi

Esercizi con Ruffini

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Una equazione di secondo grado può essere scritta come $ax^2 + bx + c = 0$ (a ≠ 0) chiamata in forma canonica o normale.

Se b = 0 e c = 0 si dice monomia e le soluzioni sono: x₁ ; x₂ = 0

Se b = 0 e c ≠ 0 si dice pura e le soluzioni sono:

$x_1 ; x_2=±\sqrt{-\frac{c}{a}}$ quando -c/a ≥ 0
nessuna quando -c/a < 0

Se b ≠ 0 e c = 0 si dice spuria e le soluzioni sono: x₁; = 0 e x₂ = - b/a

Se b ≠ 0 e c ≠ 0 si dice completa e le soluzioni sono date dalla formula: $$ x_1,x_2 =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Il termine sotto radice è chiamato discriminante Δ = $b^2 - 4ac$ e, in base al suo valore, possiamo avere:

Δ < 0

⇒ nessuna soluzione

Δ = 0

⇒ una soluzione

$\frac{-b}{2a}$

Δ > 0

⇒ due soluzioni

Nel caso che b sia pari possiamo scrivere b = 2β.
Sostituendo tale valore nella formula completa, otteniamo la formula ridotta, che semplifica molto i calcoli: $$ x_1,x_2 =\frac{-β\pm\sqrt{β^2-ac}}{a} $$

EQUAZIONI BIQUADRATICHE

Le equazioni biquadratiche sono particolari equazioni che, facendo una opportuna sostituzione di variabile diventano del tipo: $ay^2 + by + c = 0$, dove y è la nuova variabile

Si trovano quindi le soluzioni y₁ e y₂ e si pongono uguali al valore sostituito.
Si trovano infine le soluzioni nella variabile iniziale .

ESERCIZI

Equazioni di secondo grado pure

Equazioni di secondo grado spurie

Equazioni di secondo grado complete

Equazioni di secondo grado complete con formula ridotta

Equazioni di secondo grado frazionarie

Equazioni di secondo grado letterarie

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SECONDA PARTE

TRASLAZIONE DI UN GRAFICO

Un grafico di una equazione si può scrivere come $y=f(x)$

Volendolo spostare verso destra di x₀, basta sostituire alla x il termine $x-x_0$

Volendolo spostare verso l'alto di y₀, basta sostituire alla y il termine $y-y_0$

Volendolo spostare di entrambi, l'equazione diventa $y-y_0=f(x-x_0)$

EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

L'equazione di una circonferenza centrata sull'origine è    $x^2+y^2=r^2$

Traslando il centro verso destra di x_c , e in alto di y_c otteniamo la formula canonica:    $x^2+y^2+αx+βy+γ=0$

Dove:    $x_c=-\frac{α}{2}$    $y_c=-\frac{β}{2}$    $r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-γ}$

ESERCIZI

Circonferenza per tre punti
ESERCIZIO 1:

Determinare l'equazione della circonferenza passante per i punti A(2; 3), B(4; 1), C(2;-1). SVOLGIMENTO

Circonferenza dati il centro e il raggio
ESERCIZIO 2:

Determinare l'equazione della circonferenza di raggio 3 e il centro è il punto C(2;-1). SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 3:

Determinare l'equazione della circonferenza di raggio 5 e il centro che è sul punto di intersezione delle rette x+y-7=0 e 2x-3y+6=0. SVOLGIMENTO

Circonferenza per un dato diametro
ESERCIZIO 4:

Determinare l'equazione della circonferenza di cui un diametro è il segmento compreso tra i punti A(-3;+1), B(+5;-2). SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 5:

Determinare l'equazione della circonferenza di cui un diametro ha come estremi i punti A(0;-3), B(+3;-1). SVOLGIMENTO

Rette tangenti ad una data circonferenza
ESERCIZIO 6:

Scrivere le equazioni delle rette passanti per l'origine e tangenti alla circonferenza di equazione
x² + y² -2x -4y +1 = 0. SVOLGIMENTO

LA PARABOLA

La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e una retta detta direttrice.

Se il fuoco ha coordinate F ( 0;+m) e la direttrice equazione y = - m si ottiene la parabola con vertice nell'origine: $y=ax^2$ con $m=\frac{1}{4a}$

In questo caso l'asse delle ordinate è un asse di simmetria.

Se trasliamo la parabola del vettore V ( x_V; y_V) si ottiene l' equazione generale della parabola: $y=ax^2 +bx +c$

Detto $Δ = b^2-4ac$ abbiamo:

Vertice: $V = (-\frac{b}{2a};-\frac{Δ}{4a})$

Asse di simmetria: $x = -\frac{b}{2a}$

Fuoco: $F = (-\frac{b}{2a};\frac{1-Δ}{4a})$

Direttrice: $y = -\frac{1+Δ}{4a}$

SIGNIFICATO DEI COEFFICIENTI DELL'EQUAZIONE DELLA PARABOLA

a : Indica quanto la parabola è stretta; se a > 0 il vertice è il punto più basso.

b : Indica la posizione dell'asse di simmetria: Inoltre, se a·b > 0 è a sinistra dell'asse delle ordinate

c : indica il punto di intersezione con l'asse delle ordinate

LA PARABOLA E L'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Una equazione di secondo grado equivale al sistema tra la parabola e l'asse delle ascisse.
Le soluzioni sono i punti di intersezione della parabola con l'asse x.
Le soluzioni possono essere:

2: quando Δ > 0

1: quando Δ = 0

nessuna: quando Δ < 0

ESERCIZI

ESERCIZIO 1:

Determinare fuoco, vertice, asse di simmetria e direttrice della parabola di equazione y= - x²+7x-6 . SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 2:

Determinare fuoco, vertice, asse di simmetria, direttrice e disegnare la parabola di equazione y= x²-6x+5 . SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 3:

Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;0), B(5;0), C(3;-3) SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 4:

Determinare i coefficienti della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;1), B(2;3), C(-1;-9) SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 5:

Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-x²+5x-3 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 6:

Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;0), B(0;-5), C(2;3) SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 7:

Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-x²+6x-5 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 8:

Determinare i coefficienti della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(0;-1), B(-2;-3), C(-4;-1) SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 9:

Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-(1/2)x²+2x-1 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 10:

Data la parabola di equazione y=x²+ 4 x + 6, determina le equazioni delle rette passanti per P(-4;5) e tangenti alla parabola. SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 11:

Si determinino le equazioni delle parabole passanti per l'origine e tangenti alle rette di equazione 2x + 2y + 1 = 0 2x - y - 8 = 0. SVOLGIMENTO

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Una disequazione di secondo grado si risolve ponendo il secondo membro uguale a zero.
Così è come avere un sistema tra una parabola y = ax² + bx + c e la retta y = 0, che è l'asse delle ascisse.
La soluzione è data o graficamente (vedi tra le due figure per quali valori di x una figura è sopra l'altra) oppure trovando le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata ax² + bx + c = 0 , da cui, se a > 0 derivano i seguenti casi:

Quando Δ > 0 la parabola incontra l'ascissa in due punti (x₁ e x₂) e il vertice è sotto l'ascissa mentre i lati sono sopra ( con a < 0 è il contrario)

Quando Δ = 0 la parabola è tutta sopra l'ascissa tranne il vertice ( con a < 0 è il contrario)

Quando Δ < 0 la parabola è tutta sopra l'ascissa, ( con a < 0 è tutta sotto)

.
In alternativa si può risolvere la disequazione facendo una scomposizione in fattori e studiando il segno del prodotto al variare di x.

ESERCIZI

Esercizi sulle disequazioni di secondo grado

DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

Nel caso di disequazioni di grado superiore al secondo si segue la seguente procedura:

Si portano tutti i termini al primo membro
Si scompone in fattori il polinomio
Si studiano i segni dei vari fattori ( ponendoli > 0 o ≥ 0 ) e si riportano sotto l'ascissa
Si fa lo studio del segno del prodotto al variare di x
Si vede il verso della disequazione (solo qui andiamo a vederlo!! ) e si scrivono le soluzioni

DISEQUAZIONI FRAZIONARIE

Una disequazione frazionaria si risolve innanzitutto studiando:

Si portano tutti i termini al primo membro in una unica frazione
si trovano le x che annullano il denominatore (le condizioni di esistenza)
Si scompone in fattori il numeratore e il denominatore
Si studiano i segni dei vari fattori ( ponendoli > 0 o ≥ 0 ) e si riportano sotto l'ascissa
Si fa lo studio del segno del prodotto al variare di x
Si vede il verso della disequazione (solo qui andiamo a vederlo!! ) e si scrivono le soluzioni

ESERCIZI

Esercizi sulle disequazioni frazionarie

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Per risolvere un sistema di disequazioni si svolgono i seguenti passi:

Si risolve singolarmente ogni disequazione
Si portano sulla retta orientata tuttele soluzioni
Si selezionano le soluzioni comuni

ESERCIZI

Esercizi sui sistemi di disequazioni