ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL TERZO SUPERIORE

video IN LAVORAZIONE con la spiegazione di qualche lezione e con alcuni esercizi

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B ( ≠ 0 ) se esiste un polinomio Q (quoziente) che, moltiplicato B, da A:      A : B = Q    ⇔    Q · B = A
Osserva che il polinomio A deve avere grado ≥ B

Se un polinimio non è divisibile la divisione porta con il resto R (divisione euclidea )
     A : B = Q + R

La procedura è simile alla divisione tra numeri:

1. si ordinano i polinomi in modo decrescente e completo
2. divido il termine di grado massimo di A con quello di B
3. moltiplico il monomio trovato per B e gli cambio segno
4. Sottraggo il risultato ad A
5. se il risultato ha grado maggiore o uguale a B ripeto i passaggi sopra
6. Altrimenti il risultato è il resto

La regola di Ruffini si applica quando B è un binomio di primo grado.
Si lavora solo con i coefficienti (vedi figura) :

1. si mettono i coefficienti di A in modo decrescente e completo
2. Metto a sinistra l'opposto del termine noto di B
3. abbasso il primo coeffociente di A e lo moltiplico per l'opposto del termine noto di B
4. sottraggo tale numero al secondo coefficiente di A e lo riporto sotto
5. ripeto la procedura fino alla fine
6. i coefficienti sono i coefficienti di Q tranne l'ultimo che è il resto

Il teorema del resto determina il resto senza fare la divisione, quando il divisore è nella forma    (x-a).

Il valore del resto (che è un numero, perchè è un polinomio di grado zero) si ottiene sostituendo alla x il numero a.

Se il resto porta 0. Il polinomio è divisibile per (x-a).

Una equazione di secondo grado può essere scritta come    \(ax^2 + bx + c = 0\)    (a ≠ 0) chiamata in forma canonica o normale.

Il termine sotto radice è chiamato discriminante    Δ = \(x^2 - 4ac\) e, in base al suo valore, possiamo avere:

Δ < 0    ⇒    nessuna soluzione reale
Δ = 0    ⇒    una soluzione \(\frac{-b}{2a}\)    (due soluzioni coincidenti)
Δ > 0    ⇒    due soluzioni

Nel caso che b sia pari possiamo scrivere b = 2β.
Sostituendo tale valore nella formula completa, otteniamo la formula ridotta, che semplifica molto i calcoli: $$ x_1,x_2 =\frac{-β\pm\sqrt{β^2-ac}}{a} $$

Un grafico di una equazione si può scrivere come \(y=f(x)\)

Volendolo spostare verso destra di   x₀, basta sostituire alla   x   il termine    \(x-x_0\)

Volendolo spostare verso l'alto di   y₀, basta sostituire alla y   il termine    \(y-y_0\)

Volendolo spostare di entrambi, l'equazione diventa \(y-y_0=f(x-x_0)\)

L'equazione di una circonferenza centrata sull'origine è    \(x^2+y^2=r^2\)

Traslando il centro verso destra di   x_c , e in alto di   y_c otteniamo la formula canonica:    \(x^2+y^2+αx+βy+γ=0\)

Dove:    \(x_c=-\frac{α}{2}\)    \(y_c=-\frac{β}{2}\)    \(r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-γ}\)