ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL TERZO SUPERIORE

video IN LAVORAZIONE con la spiegazione di qualche lezione e con alcuni esercizi



DIVISIONE TRA POLINOMI

Un polinomio A divisibile per un polinomio B ( ≠ 0 ) se esiste un polinomio Q (quoziente) che, moltiplicato B, da A:      A : B = Q    ⇔    Q · B = A
Osserva che il polinomio A deve avere grado ≥ B

Se un polinimio non divisibile la divisione porta con il resto R (divisione euclidea )
     A : B = Q + R

La procedura simile alla divisione tra numeri:

  1. si ordinano i polinomi in modo decrescente e completo
  2. divido il termine di grado massimo di A con quello di B
  3. moltiplico il monomio trovato per B e gli cambio segno
  4. Sottraggo il risultato ad A
  5. se il risultato ha grado maggiore o uguale a B ripeto i passaggi sopra
  6. Altrimenti il risultato il resto

La regola di Ruffini si applica quando B un binomio di primo grado.
Si lavora solo con i coefficienti (vedi figura) :

  1. si mettono i coefficienti di A in modo decrescente e completo
  2. Metto a sinistra l'opposto del termine noto di B
  3. abbasso il primo coeffociente di A e lo moltiplico per l'opposto del termine noto di B
  4. sottraggo tale numero al secondo coefficiente di A e lo riporto sotto
  5. ripeto la procedura fino alla fine
  6. i coefficienti sono i coefficienti di Q tranne l'ultimo che il resto

Il teorema del resto determina il resto senza fare la divisione, quando il divisore nella forma    (x-a).

Il valore del resto (che un numero, perch un polinomio di grado zero) si ottiene sostituendo alla x il numero a.

Se il resto porta 0. Il polinomio divisibile per (x-a).

ESERCIZI Esercizi con divisione tra polinomi
Esercizi con Ruffini



EQUAZIONI DI SECONDO GRADO


Una equazione di secondo grado pu essere scritta come    \(ax^2 + bx + c = 0\)    (a ≠ 0) chiamata in forma canonica o normale.

  • Se b = 0 e c = 0 si dice monomia e le soluzioni sono:    x1 ; x2 = 0
  • Se b = 0 e c ≠ 0 si dice pura e le soluzioni sono:
    • \(x_1 ; x_2=±\sqrt{-\frac{c}{a}}\)    quando -c/a ≥ 0
    • nessuna    quando -c/a < 0
  • Se b ≠ 0 e c = 0 si dice spuria e le soluzioni sono: x1; = 0 e x2 = - b/a
  • Se b ≠ 0 e c ≠ 0 si dice completa e le soluzioni sono date dalla formula: $$ x_1,x_2 =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$




  • Il termine sotto radice chiamato discriminante    Δ = \(x^2 - 4ac\) e, in base al suo valore, possiamo avere:

    Nel caso che b sia pari possiamo scrivere b = 2β.
    Sostituendo tale valore nella formula completa, otteniamo la formula ridotta, che semplifica molto i calcoli: $$ x_1,x_2 =\frac{-β\pm\sqrt{β^2-ac}}{a} $$

    EQUAZIONI BIQUADRATICHE

  • Le equazioni biquadratiche sono particolari equazioni che, facendo una opportuna sostituzione di variabile diventano del tipo:    \(ay^2 + by + c = 0\),    dove y la nuova variabile

    Si trovano quindi le soluzioni y1 e y2 e si pongono uguali al valore sostituito.
    Si trovano infine le soluzioni nella variabile iniziale .

  • ESERCIZI Equazioni di secondo grado spurie
    Equazioni di secondo grado complete
    Equazioni di secondo grado complete con formula ridotta
    Equazioni di secondo grado frazionarie
    Equazioni di secondo grado letterarie


    ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SECONDA PARTE

    TRASLAZIONE DI UN GRAFICO

    Un grafico di una equazione si pu scrivere come \(y=f(x)\)

    Volendolo spostare verso destra di   x0, basta sostituire alla   x   il termine    \(x-x_0\)

    Volendolo spostare verso l'alto di   y0, basta sostituire alla y   il termine    \(y-y_0\)

    Volendolo spostare di entrambi, l'equazione diventa \(y-y_0=f(x-x_0)\)

    EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

    L'equazione di una circonferenza centrata sull'origine    \(x^2+y^2=r^2\)

    Traslando il centro verso destra di   xc , e in alto di   yc otteniamo la formula canonica:    \(x^2+y^2+αx+βy+γ=0\)

    Dove:    \(x_c=-\frac{α}{2}\)    \(y_c=-\frac{β}{2}\)    \(r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-γ}\)


    Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

    LA PARABOLA

    La parabola L'equazione della parabola La parabola e l'equazione di secondo grado Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

    Data la parabola di equazione y=x2+4x+6, determina le equazioni delle rette passanti per P(-4;5) e tangenti alla parabola VIDEO

    ESERCIZI


    ESERCIZIO 1:
    Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;1), B(2;3), C(-1;-9) SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 2:
    Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-x2+5x-3 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 3:
    Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;0), B(0;-5), C(2;3) SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 4:
    Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-x2+6x-5 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 5:
    Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(0;-1), B(-2;-3), C(-4;-1) SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 6:
    Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-(1/2)x2+2x-1 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO

    DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SISTEMI DI DISEQUAZIONI

    DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
    Esercizio Esercizio Esercizio

    SISTEMI DI DISEQUAZIONI
    Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio